Instructor: 姚振威
English version: Interfaces, Surfaces and Membranes
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核心图像

界面有能量成本，因为界面上的分子环境不同于体相。液滴、泡沫、乳液、润湿、毛细现象和生物膜形状都由表面能、曲率和弯曲能控制。

表面张力

表面张力 gamma 是单位面积界面自由能，也可以理解为沿界面的收缩力。

surface F=Fs=γAF_s=\gamma A
work=dF=γdAdF=\gamma dA
capillary=lc=γ/(ρg)l_c=\sqrt{\gamma/(\rho g)}

小尺度下表面张力比重力更重要；大尺度下重力会压平界面。

Young-Laplace 与润湿

曲面界面两侧存在压力差。曲率越大，毛细压力越大。

Laplace=Δp=γ(1R1+1R2)\Delta p=\gamma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)
sphere=Δp=2γ/R\Delta p=2\gamma/R
droplet=smaller R gives larger pressure

接触角来自三条界面张力的平衡。

Young=γSV=γSL+γLVcos⁡θ\gamma_{SV}=\gamma_{SL}+\gamma_{LV}\cos\theta
wetting=small theta means good wetting

膜的 Helfrich 能量

脂质膜是二维流体表面。膜内分子可以流动，但膜整体弯曲需要能量。

mean=2H=1R1+1R22H=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
Gaussian=KG=1/(R1R2)K_G=1/(R_1R_2)
Helfrich=F=∫[κ2(2H−C0)2+κˉKG]dAF=\int[\frac{\kappa}{2}(2H-C_0)^2+\bar\kappa K_G]dA

kappa 是弯曲刚度，C_0 是自发曲率，kappa_bar 控制高斯曲率项。若拓扑不变，高斯曲率积分通常给常数贡献。

小斜率近似与热涨落

把膜写成高度函数 z=h(x,y)，在小斜率近似下曲率可以简化。

small slope=∣∇h∣≪1|\nabla h|\ll1
curvature=2H≈∇2h2H\approx\nabla^2h
bending=Fb=κ2∫(∇2h)2d2rF_b=\frac{\kappa}{2}\int(\nabla^2h)^2d^2r
tension=Fγ=γ2∫∣∇h∣2d2rF_\gamma=\frac{\gamma}{2}\int|\nabla h|^2d^2r

Fourier 模式的涨落由能量均分给出。

mode=Fq=12(κq4+γq2)∣hq∣2F_q=\frac12(\kappa q^4+\gamma q^2)|h_q|^2
fluctuation=⟨∣hq∣2⟩=kBTκq4+γq2\langle|h_q|^2\rangle=\frac{k_BT}{\kappa q^4+\gamma q^2}

考试抓手

界面题先写 F=gamma A；曲面压力写 Young-Laplace；润湿写 Young equation；膜形状写 Helfrich；小变形涨落写 h(x,y) 和 Fourier mode。