Instructor: 姚振威
English version: Liquid Crystals
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核心图像

液晶介于液体和晶体之间。向列相 nematic 没有位置有序，但有取向有序。director n 表示平均取向，并且 n 与 -n 等价。

标量与张量有序参数

取向分布可用 f(theta, phi) 描述；若绕 director 有柱对称性，则只依赖 theta。

scalar S=S=⟨12(3cos⁡2θ−1)⟩S=\left\langle\frac12(3\cos^2\theta-1)\right\rangle
Legendre=S=⟨P2(cos⁡θ)⟩S=\langle P_2(\cos\theta)\rangle
tensor=Qαβ=S(nαnβ−δαβ/3)Q_{\alpha\beta}=S(n_\alpha n_\beta-\delta_{\alpha\beta}/3)
trace=Tr Q=0\mathrm{Tr}\,Q=0

S=1 表示完全沿 director 排列，S=0 表示各向同性随机取向。Q 张量去掉各向同性部分，只保留取向各向异性。

宏观响应张量

液晶的各向异性可以通过外场响应测量。

response=Mα=χαβHβM_\alpha=\chi_{\alpha\beta}H_\beta
isotropic=χαβ=χ0δαβ\chi_{\alpha\beta}=\chi_0\delta_{\alpha\beta}
nematic=χαβ=χ⊥δαβ+χanαnβ\chi_{\alpha\beta}=\chi_\perp\delta_{\alpha\beta}+\chi_a n_\alpha n_\beta
anisotropy=χa=χ∥−χ⊥\chi_a=\chi_\parallel-\chi_\perp

Frank 弹性能

director 在空间中变化会产生弹性能。三种基本形变是 splay、twist、bend。

Frank=F=12∫[K1(∇⋅n)2+K2(n⋅∇×n)2+K3∣n×∇×n∣2]dVF=\frac12\int[K_1(\nabla\cdot\mathbf n)^2+K_2(\mathbf n\cdot\nabla\times\mathbf n)^2+K_3|\mathbf n\times\nabla\times\mathbf n|^2]dV
splay=∇⋅n\nabla\cdot\mathbf n
twist=n⋅∇×n\mathbf n\cdot\nabla\times\mathbf n
bend=n×∇×n\mathbf n\times\nabla\times\mathbf n

二维 one-constant approximation 下，director 可写成角度场 theta。

2D n=n=(cos⁡θ,sin⁡θ)\mathbf n=(\cos\theta,\sin\theta)
one K=F=K2∫∣∇θ∣2d2rF=\frac{K}{2}\int|\nabla\theta|^2d^2r

拓扑缺陷

绕缺陷一圈，director 角度的总变化定义拓扑荷。由于 n 与 -n 等价，nematic 允许半整数缺陷。

charge=q=12π∮dθq=\frac{1}{2\pi}\oint d\theta
defect=θ=qφ+θ0\theta=q\varphi+\theta_0
energy=Fdefect≈πKq2ln⁡(R/a)F_{defect}\approx\pi Kq^2\ln(R/a)
sphere=∑iqi=2\sum_i q_i=2

球面 nematic 必须有总拓扑荷 2，常见构型是四个 +1/2 缺陷。

考试抓手

液晶题先写 n 等价于 -n，再写 S 或 Q；有空间变化就写 Frank；有缺陷就算 winding number；在球面上要记住总拓扑荷约束。