Instructor: 张何朋
English version: Fluid Dynamics
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核心图像

软物质中的运动大多发生在水、油或复杂流体里。微米尺度下惯性通常很弱，粘性阻力很强，所以“停下外力，运动几乎立刻停下”。

连续介质与速度场

流体动力学把流体看成连续介质，用速度场 v(r,t)、压力 p(r,t)、密度 rho 描述。

material D=DDt=∂t+v⋅∇\frac{D}{Dt}=\partial_t+\mathbf v\cdot\nabla
continuity=∂tρ+∇⋅(ρv)=0\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0
incompressible=∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v=0

material derivative 表示跟着流体质点运动时看到的变化；不可压缩条件常用于水和多数软物质实验。

粘性与牛顿流体

牛顿流体的剪切应力与剪切速率成正比。粘度 eta 越大，流动越难。

shear=τ=ηγ˙\tau=\eta\dot\gamma
stress=σij=−pδij+η(∂ivj+∂jvi)\sigma_{ij}=-p\delta_{ij}+\eta(\partial_i v_j+\partial_j v_i)
viscosity=η\eta measures momentum diffusion

Navier-Stokes 方程是动量守恒。软物质中常用低 Reynolds number 极限，惯性项可以忽略，得到 Stokes 方程。

NS=ρDvDt=−∇p+η∇2v+f\rho\frac{D\mathbf v}{Dt}=-\nabla p+\eta\nabla^2\mathbf v+\mathbf f
Re=ρUL/η\rho U L/\eta
Stokes=0=−∇p+η∇2v+f0=-\nabla p+\eta\nabla^2\mathbf v+\mathbf f
constraint=∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf v=0

Re 小表示粘性支配，流动可逆性强，没有明显惯性记忆。这是微流控、胶体和细胞尺度运动的关键。

球形颗粒的阻力

半径 R 的球以速度 U 在粘性流体中运动，受到 Stokes 阻力。

drag=F=6πηRUF=6\pi\eta R U
mobility=U=μFU=\mu F
mu=μ=16πηR\mu=\frac{1}{6\pi\eta R}

这条公式直接连接到布朗运动中的 Stokes-Einstein 关系。

管流与尺度律

Poiseuille 流说明小管道阻力对半径极其敏感。

Poiseuille=Q=πa4Δp8ηLQ=\frac{\pi a^4\Delta p}{8\eta L}
resistance=ΔpQ=8ηLπa4\frac{\Delta p}{Q}=\frac{8\eta L}{\pi a^4}

半径变小一点，流阻会大幅上升。这是微流控和多孔介质流动的基本尺度律。

考试抓手

如果题目尺度是微米、速度不大、流体是水，先估 Re。若 Re 很小，直接进入 Stokes 方程、Stokes drag、mobility 和 Stokes-Einstein 的逻辑。