Instructor: 曹鑫
English version: Brownian Motion
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核心图像

布朗运动是悬浮颗粒受到流体分子热碰撞后产生的随机运动。短时间看是随机力和阻尼，长时间看是扩散。

Langevin 方程

Langevin=dVdt=−ΓV+L(t)\frac{dV}{dt}=-\Gamma V+L(t)
relaxation=τ=Γ−1=M6πηR\tau=\Gamma^{-1}=\frac{M}{6\pi\eta R}
overdamped=dXdt=Γ−1L~(t)\frac{dX}{dt}=\Gamma^{-1}\tilde L(t)

当 t 远大于 tau，速度很快热化，位置成为 Wiener process。

equipart=12M⟨V2⟩=12kBT\frac{1}{2}M\langle V^2\rangle=\frac{1}{2}k_B T
FDT=γ=kBTMΓ\gamma=\frac{k_B T}{M}\Gamma
MSD=⟨x2⟩=2Dt\langle x^2\rangle=2Dt
Stokes-Einstein=D=kBT6πηRD=\frac{k_B T}{6\pi\eta R}

Fokker-Planck 方程

随机微分方程可以等价地写成概率分布的演化方程。

SDE=dξdt=a(ξ)+bL(t)\frac{d\xi}{dt}=a(\xi)+bL(t)
FP=∂tP=−∂ξ[aP]+γ∂ξ2[b2P]\partial_tP=-\partial_\xi[aP]+\gamma\partial_\xi^2[b^2P]
diffusion=∂tP=D∂X2P\partial_tP=D\partial_X^2P
solution=P(X,t)=(4πDt)−1/2e−X2/(4Dt)P(X,t)=(4\pi Dt)^{-1/2}e^{-X^2/(4Dt)}

速度分布的 Fokker-Planck 方程要求 Maxwell 分布为稳态解，因此再次得到涨落-耗散关系。

velocity FP=∂tP=∂V[(ΓV+γ∂V)P]\partial_tP=\partial_V[(\Gamma V+\gamma\partial_V)P]
Maxwell=Peq(V)∝e−MV2/(2kBT)P_{eq}(V)\propto e^{-MV^2/(2k_BT)}

维度与扩散

1D=⟨Δx2⟩=2Dt\langle\Delta x^2\rangle=2Dt
2D=⟨Δr2⟩=4Dt\langle\Delta r^2\rangle=4Dt
3D=⟨Δr2⟩=6Dt\langle\Delta r^2\rangle=6Dt

主动布朗颗粒

主动颗粒消耗能量并自驱动，不再只由热噪声决定。

passive=v0=0v_0=0
active=v0>0v_0>0
MIPS=motility-induced phase separation

考试抓手

看到随机力，先写 Langevin；看到概率分布，写 Fokker-Planck；看到长时间位置统计，写 MSD 和 D。Brownian 课的核心是把热噪声、阻尼、扩散系数连成一条线。