Instructor: 张洁
English version: Elasticity
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核心图像

弹性研究固体受到外力后的可逆形变。线性弹性范围内，应力与应变成正比，三维问题需要用应力张量和应变张量描述。

一维拉伸与泊松比

stress=F/AF/A
strain=Δl/l\Delta l/l
Hooke=FA=YΔll\frac{F}{A}=Y\frac{\Delta l}{l}
Poisson=Δww=−σΔll\frac{\Delta w}{w}=-\sigma\frac{\Delta l}{l}

Y 是杨氏模量，表示抵抗拉伸或压缩的能力。sigma 是泊松比，表示纵向拉伸时横向收缩的比例。

hydro=Δll=−pY(1−2σ)\frac{\Delta l}{l}=-\frac{p}{Y}(1-2\sigma)
range=−1<σ<12-1<\sigma<\frac{1}{2}
mu=μ=Y2(1+σ)\mu=\frac{Y}{2(1+\sigma)}
K=K=Y3(1−2σ)K=\frac{Y}{3(1-2\sigma)}

静水压力要求受压后体积变小，因此 sigma 不能超过 1/2；剪切模量为正要求 sigma 大于 -1。

剪切、受限压缩与扭转

剪切让形状改变但不主要改变体积。受限压缩时横向不能自由膨胀，等效模量会变大。

shear=g=μθg=\mu\theta
confined=Y′=Y(1−σ)(1+σ)(1−2σ)Y'=\frac{Y(1-\sigma)}{(1+\sigma)(1-2\sigma)}
order=μ<Y<Y′\mu<Y<Y'
torsion=τ=μπa42Lϕ\tau=\frac{\mu\pi a^4}{2L}\phi

扭转杆最重要的结论是 a^4 标度：半径变为 2 倍，抗扭刚度变为 16 倍。

梁弯曲与屈曲

梁弯曲时一侧拉伸、一侧压缩，中性面附近应变为零。截面二次矩 I 衡量材料离中性轴有多远。

bending=M=YI/RM=YI/R
moment=I=∫y2 dAI=\int y^2\,dA
cantilever=z(L)=WL33YIz(L)=\frac{WL^3}{3YI}
buckling=Fc=π2YIL2F_c=\frac{\pi^2YI}{L^2}

屈曲是结构失稳，不一定是材料压坏。细长杆越长，临界压力越小。

张量形式与弹性波

strain=eij=12(∂iuj+∂jui)e_{ij}=\frac{1}{2}(\partial_i u_j+\partial_j u_i)
Hooke 3D=Sij=2μeij+λekkδijS_{ij}=2\mu e_{ij}+\lambda e_{kk}\delta_{ij}
motion=ρd2uidt2=∂jSij\rho\frac{d^2u_i}{dt^2}=\partial_j S_{ij}
shear wave=cs=μ/ρc_s=\sqrt{\mu/\rho}
long wave=cl=(λ+2μ)/ρc_l=\sqrt{(\lambda+2\mu)/\rho}

考试抓手

先判断是一维拉伸、剪切、弯曲、扭转还是三维张量问题。然后找边界条件：自由膨胀、受限压缩、固定端、自由端，会直接改变有效模量或形变公式。